Malgré la rudesse du territoire, on trouve des traces d’occupation en Haute Romanche depuis l’Antiquité. Néanmoins, c’est au moyen âge que La Grave s’impose comme le centre administratif et commercial du Haut Oisans. Le village aurait été alors la communauté la plus importante de l'Oisans et comptait plus d'habitants que le Bourg d'Oisans ! « Neuf mois d’hiver, trois mois d’enfer », tel était le rythme agricole imposé par la rudesse du climat, la saison froide entraînant aussi l’exil des hommes qui se spécialisèrent au fil du temps dans le colportage. Au second empire, la construction épique de la route du Lautaret rompit l’isolement de la Haute Romanche, et eut pour double effet d’accélérer l’exode rural tout en amenant les prémices d’un tourisme estival : de nouvelles activités (auberges, maisons de roulage) voient déjà le jour, alimentées conjointement par les voyageurs routiers et les alpinistes qui commencent à s’attaquer à ce massif difficile: la Meije sera le dernier grand sommet des Alpes à être vaincu en 1877. Le tourisme hivernal n’apparaîtra que plus tard, notamment avec les premières remontées au Chazelet en 1964, mais le second souffle sera surtout donné par la construction du téléphérique en 1976 : se hisser sans effort pour contempler le panorama à 3200m sera fort apprécié par les estivants, puis plus tard par les skieurs du monde entier.
La mairie de La Grave se situe en face l'office du tourisme de La Meije. La mairie est ouverte tous les jours les lundis, mardis, jeudis et vendredis de 8h30 à 11h30, sur rendez-vous les après-midi.